Física: Campo gravitatorio

🌌 Campo Gravitatorio

El campo gravitatorio es una propiedad del espacio que rodea a cualquier cuerpo con masa. A diferencia del campo eléctrico, la gravedad es siempre atractiva.

🎯 Ley de Gravitación Universal

Newton postuló que cualquier pareja de masas se atrae con una fuerza que es proporcional al producto de sus masas e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia que las separa.

F=GM⋅mr2F = G \frac{M \cdot m}{r^2}

Donde:

  • G=6,67×10−11 N⋅m2/kg2G = 6,67 \times 10^{-11} \, \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{kg}^2 es la Constante de Gravitación Universal.
  • M,mM, m son las masas de los cuerpos (kg)(\text{kg}).
  • rr es la distancia entre los centros de masa (m)(\text{m}).

En forma vectorial: F⃗=−GM⋅mr2u⃗r\vec{F} = -G \frac{M \cdot m}{r^2} \vec{u}_r El signo negativo indica que la fuerza es atractiva (apunta hacia la masa MM).

📊 Intensidad del Campo Gravitatorio (g⃗\vec{g})

La intensidad del campo gravitatorio en un punto es la fuerza gravitatoria por unidad de masa situada en dicho punto.

g⃗=F⃗m=−GMr2u⃗r\vec{g} = \frac{\vec{F}}{m} = -G \frac{M}{r^2} \vec{u}_r

Puntos clave para la PAU:

  1. Unidades: Se mide en N/kg\text{N}/\text{kg} o m/s2\text{m}/\text{s}^2.
  2. Carga puntual vs. Esfera: Para una esfera simétrica de masa MM, el campo en el exterior es el mismo que si toda la masa estuviera concentrada en el centro.
  3. Superposición: Si hay varias masas, el campo total es la suma vectorial de los campos individuales: g⃗total=∑g⃗i\vec{g}_{total} = \sum \vec{g}_i.

💾 Energía Potencial Gravitatoria (UgU_g)

La energía potencial gravitatoria es el trabajo necesario para trasladar una masa mm desde el infinito hasta una posición rr en el campo de una masa MM.

Ug=−GM⋅mrU_g = -G \frac{M \cdot m}{r}

¡Cuidado con el signo!

  • La energía es negativa. Esto significa que el sistema está “ligado”.
  • El valor 00 se define en el infinito. A medida que la masa se acerca a MM, UgU_g se hace más negativa (disminuye).

⚡ Potencial Gravitatorio (VgV_g)

El potencial gravitatorio es la energía potencial por unidad de masa. Es una magnitud escalar.

Vg=Ugm=−GMrV_g = \frac{U_g}{m} = -G \frac{M}{r}

Relación campo-potencial: Al igual que en electricidad, el campo gravitatorio es el gradiente negativo del potencial: g⃗=−∇Vg  ⟹  g=−dVgdr\vec{g} = -\nabla V_g \implies g = -\frac{dV_g}{dr}

🚀 Velocidad de Escape y Satélites

1. Velocidad de escape

Es la velocidad mínima que debe tener un cuerpo para escapar de la atracción gravitatoria de un planeta y llegar al infinito con velocidad cero. Utilizando la conservación de la energía (Einicial=EfinalE_{inicial} = E_{final}): 12mvesc2+(−GMmR)=0  ⟹  vesc=2GMR\frac{1}{2}mv_{esc}^2 + \left( -G\frac{Mm}{R} \right) = 0 \implies v_{esc} = \sqrt{\frac{2GM}{R}}

2. Satélites en órbita circular

Para que un satélite se mantenga en órbita, la fuerza gravitatoria debe actuar como fuerza centrípeta: GM⋅mr2=mv2r  ⟹  vorb=GMrG \frac{M \cdot m}{r^2} = m \frac{v^2}{r} \implies v_{orb} = \sqrt{\frac{GM}{r}}

Periodo orbital (TT): T=2πrv=2πr3GMT = \frac{2\pi r}{v} = 2\pi \sqrt{\frac{r^3}{GM}}

🪐 Leyes de Kepler (Resumen)

  1. 1ª Ley (Órbitas): Los planetas describen órbitas elípticas con el Sol en uno de los focos.
  2. 2ª Ley (Áreas): El radio vector que une el planeta al Sol barre áreas iguales en tiempos iguales (velocidad areolar constante   ⟹  \implies conservación del momento angular).
  3. 3ª Ley (Periodos): El cuadrado del periodo es proporcional al cubo del semieje mayor: T2r3=4π2GM\frac{T^2}{r^3} = \frac{4\pi^2}{GM}.

📝 Ejercicios Variados

Nivel 1: Cálculos básicos

EJERCICIO

Enunciado: Calcula la fuerza de atracción gravitatoria entre la Tierra (MT=5,97×1024 kgM_T = 5,97 \times 10^{24} \text{ kg}) y la Luna (ML=7,35×1022 kgM_L = 7,35 \times 10^{22} \text{ kg}) sabiendo que la distancia media entre sus centros es de 3,84×108 m3,84 \times 10^8 \text{ m}.

EJERCICIO

Enunciado: Determina la intensidad del campo gravitatorio en la superficie de la Tierra (RT=6,37×106 mR_T = 6,37 \times 10^6 \text{ m}).

Nivel 2: Energía y Potencial

EJERCICIO

Enunciado: Calcula la energía necesaria para elevar un satélite de 500 kg500 \text{ kg} desde la superficie de la Tierra hasta una altura de 2000 km2000 \text{ km} sobre la superficie.

EJERCICIO

Enunciado: ¿Cuál es la velocidad de escape de Marte si su masa es 6,39×1023 kg6,39 \times 10^{23} \text{ kg} y su radio es 3,39×106 m3,39 \times 10^6 \text{ m}?

Nivel 3: Desafíos y Análisis

EJERCICIO

Enunciado: Un satélite orbita la Tierra en una trayectoria circular a una altura de 36000 km36000 \text{ km} (satélite geoestacionario). Calcula su periodo orbital y comprueba si coincide con el día sideral.

EJERCICIO

Enunciado: Determina el punto entre la Tierra y la Luna donde el campo gravitatorio resultante es nulo. (Distancia Tierra-Luna d=3,84×108 md = 3,84 \times 10^8 \text{ m}).

EJERCICIO

Enunciado: Demuestra que la velocidad orbital de un satélite es exactamente 1/21/\sqrt{2} veces la velocidad de escape para la misma distancia rr.

💡 Resumen rápido (Cheat Sheet)

ConceptoFórmulaUnidadesNotas
Fuerza GravitatoriaF=GMmr2F = G \frac{Mm}{r^2}N\text{N}Siempre atractiva
Campo Gravitatoriog=GMr2g = \frac{GM}{r^2}m/s2\text{m/s}^2 o N/kg\text{N/kg}Aceleración de la gravedad
Energía PotencialUg=−GMmrU_g = -G \frac{Mm}{r}J\text{J}Negativa, 00 en ∞\infty
PotencialVg=−GMrV_g = -G \frac{M}{r}J/kg\text{J/kg}Escalar
Vel. Escapevesc=2GMRv_{esc} = \sqrt{\frac{2GM}{R}}m/s\text{m/s}Para salir del planeta
Vel. Orbitalvorb=GMrv_{orb} = \sqrt{\frac{GM}{r}}m/s\text{m/s}Para órbita circular

🎓 ¿Qué aprendiste?

  1. La gravedad es una fuerza fundamental que depende de la masa y la distancia.
  2. El campo g⃗\vec{g} es la fuerza por unidad de masa y es el gradiente del potencial VgV_g.
  3. La energía potencial es negativa porque el cuerpo está atrapado en el “pozo” gravitatorio.
  4. Para que un satélite orbite, la gravedad debe proporcionar la aceleración centrípeta necesaria.
  5. Las leyes de Kepler describen la cinemática de los astros, mientras que Newton explica la dinámica (la causa).