El determinante es el valor escalar único que tiene una matriz determinada que se calcula a partir de los elementos de una matriz cuadrada ($a \times a$). Se representa de dos maneras posibles: $|A|$ o $det(A)$.

Cálculo del determinante

1x1

El determinante de una matriz 1x1 es el mismo número.

$A = (a_{11}) \rightarrow |A| = a_{11}$

2x2

Para el determinante de una matriz 2x2, multiplicamos en cruz la diagonal principal y le restamos el resultado de multiplicar en cruz la diagonal secundaria:

Para la diagonal principal:

$$A = \begin{pmatrix} \color{blue}{a_{11}} && a_{12} \\ a_{21} && \color{blue}{a_{22}} \end{pmatrix} \\ |A| = a_{11} · a_{22} - ...$$

Para la diagonal secundaria:

$$A = \begin{pmatrix} a_{11} && \color{blue}{a_{12}} \\ \color{blue}{a_{21}} && a_{22} \end{pmatrix} \\ |A| = ... - a_{12} · a_{21}$$

Por tanto, el módulo de la matriz A de dimensiones 2x2 es:

$$|A| = a_{11} · a_{22} - a_{12} · a_{21}$$

3x3

$$A = \begin{pmatrix} \color{blue}{a_{11}} && a_{12} && a_{13} \\ a_{21} && \color{blue}{a_{22}} && a_{23} \\ a_{31} && a_{32} && \color{blue}{a_{33}} \end{pmatrix}$$ $$|A| = a_{11} · a_{22} · a_{33} + ...$$

Para continuar y calcular el determinante correctamente, podemos usar un truco que consiste en duplicar las dos primeras filas de la matriz abajo de la última. De la siguiente manera:

$$\begin{matrix} a_{11} && a_{12} && a_{13} \\ \color{blue}{a_{21}} && a_{22} && a_{23} \\ a_{31} && \color{blue}{a_{32}} && a_{33} \\ a_{11} && a_{12} && \color{blue}{a_{13}} \\ a_{21} && a_{22} && a_{23} \end{matrix} \\$$ $$|A| = a_{11} · a_{22} · a_{33} + a_{21} · a_{32} · a_{13} + ...$$ $$\begin{matrix} a_{11} && a_{12} && a_{13} \\ a_{21} && a_{22} && a_{23} \\ \color{blue}{a_{31}} && a_{32} && a_{33} \\ a_{11} && \color{blue}{a_{12}} && a_{13} \\ a_{21} && a_{22} && \color{blue}{a_{23}} \end{matrix} \\$$ $$|A| = a_{11} · a_{22} · a_{33} + a_{21} · a_{32} · a_{13} + a_{31} · a_{12} · a_{23} - ...$$

Ahora que hemos multiplicado y sumado todas las líneas verticales de izquierda a derecha, tenemos que restarle a estas el producto de todas las líneas de derecha a izquierda.

$$\begin{matrix} a_{11} && a_{12} && \color{red}{a_{13}} \\ a_{21} && \color{red}{a_{22}} && a_{23} \\ \color{red}{a_{31}} && a_{32} && a_{33} \\ a_{11} && a_{12} && a_{13} \\ a_{21} && a_{22} && a_{23} \end{matrix}$$ $$|A| = a_{11} · a_{22} · a_{33} + a_{21} · a_{32} · a_{13} + a_{31} · a_{12} · a_{23} - a_{13} · a_{22} · a_{31} \\$$ $$\begin{matrix} a_{11} && a_{12} && a_{13} \\ a_{21} && a_{22} && \color{red}{a_{23}} \\ a_{31} && \color{red}{a_{32}} && a_{33} \\ \color{red}{a_{11}} && a_{12} && a_{13} \\ a_{21} && a_{22} && a_{23} \end{matrix}$$ $$|A| = a_{11} · a_{22} · a_{33} + a_{21} · a_{32} · a_{13} + a_{31} · a_{12} · a_{23} - a_{13} · a_{22} · a_{31} - \\ a_{23} · a_{32} · a_{11}$$ $$\begin{matrix} a_{11} && a_{12} && a_{13} \\ a_{21} && a_{22} && a_{23} \\ a_{31} && a_{32} && \color{red}{a_{33}} \\ a_{11} && \color{red}{a_{12}} && a_{13} \\ \color{red}{a_{21}} && a_{22} && a_{23} \end{matrix}$$

Representación final

$$|A| = a_{11} · a_{22} · a_{33} + a_{21} · a_{32} · a_{13} + a_{31} · a_{12} · a_{23} - a_{13} · a_{22} · a_{31} - \\ a_{23} · a_{32} · a_{11} - a_{33} · a_{12} · a_{21}$$