Matrices

Representación de un sistema de ecuaciones como matriz.

$$\begin{cases} x+2y = 3 \\ 3x+4y = 8 \end{cases} \rightarrow \left[ \begin{array}{cc|c} 1 & 2 & 3 \\ 3 & 4 & 8 \end{array} \right]$$

Las matrices se representan en filas y columnas. Las dimensiones son $filas \times columnas$.

$$A = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \\ \end{pmatrix}$$

EJEMPLO NUMÉRICO

El siguiente ejemplo muestra una matriz con 2 filas y 2 columnas, por tanto se trata de una matriz con dimensiones 2x2.

$$A = \begin{pmatrix} 6 & 7 \\ 3 & 3 \\ \end{pmatrix}$$

Suma de matrices

Para sumar matrices ambas deben tener las mismas dimensiones: una matriz 3x2 solo se puede sumar con otra 3x2.

$$A + B = \begin{pmatrix} a_{11} + b_{11} & a_{12} + b_{12} \\ a_{21} + b_{21} & a_{22} + b_{22} \\ a_{31} + b_{31} & a_{32} + b_{32} \end{pmatrix}$$ $$A + B = \begin{pmatrix} 10 & 14 \\ 10 & 10 \\ 9 & 9 \end{pmatrix}$$

Producto de una matriz con un escalar

El producto de una matriz A por un escalar k, es el resultado de multiplicar cada fila y columna por este número escalar.

$$A · k = \begin{pmatrix} a_{11} · k & a_{12} · k \\ a_{21} · k & a_{22} · k \end{pmatrix}$$

EJEMPLO NUMÉRICO

$$A = \begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 4 & 4 \end{pmatrix} \ \ k = 5 \\$$ $$A · 5 = \begin{pmatrix} 10 & 15 \\ 20 & 20 \end{pmatrix}$$

Producto de una matriz con otra matriz

Para hacer el producto de dos matrices estas deben cumplir la siguiente condición en sus dimensiones: la matriz A debe tener las dimensiones $a \times n$ (ej: 2x3) y la matriz B debe tener las dimensiones $n \times b$ (ej. 3x2).

Es decir, no es posible calcular el producto entre una matriz C con dimensiones 3x4 y otra D con dimensiones 5x6.

Cálculo del producto con matrices 2x2

$$A = \begin{pmatrix} a_{11} && a_{12} \\ a_{21} && a_{22} \end{pmatrix} \ B = \begin{pmatrix} b_{11} && b_{12} \\ b_{21} && b_{22} \end{pmatrix}$$

Paso 1

$$\begin{pmatrix} \color{blue}{a_{11}} && \color{blue}{a_{12}} \\ a_{21} && a_{22} \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} \color{blue}{b_{11}} && b_{12} \\ \color{blue}{b_{21}} && b_{22} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \color{blue}{a_{11} · b_{11} + a_{12} · b_{21}} && ... \\ ... && ... \end{pmatrix}$$

Paso 2

$$\begin{pmatrix} \color{blue}{a_{11}} && \color{blue}{a_{12}} \\ a_{21} && a_{22} \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} b_{11} && \color{blue}{b_{12}} \\ b_{21} && \color{blue}{b_{22}} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a_{11} · b_{11} + a_{12} · b_{21} && \textcolor{blue}{a_{11} · b_{12} + a_{12} · b_{22}} \\ ... && ... \end{pmatrix}$$

Paso 3

$$\begin{pmatrix} a_{11} && a_{12} \\ \color{blue}{a_{21}} && \color{blue}{a_{22}} \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} \color{blue}{b_{11}} && b_{12} \\ \color{blue}{b_{21}} && b_{22} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a_{11} · b_{11} + a_{12} · b_{21} && a_{11} · b_{12} + a_{12} · b_{22} \\ \color{blue}{a_{21} · b_{11} + a_{22} · b_{21}} && ... \end{pmatrix}$$

Paso 4

$$\begin{pmatrix} a_{11} && a_{12} \\ \color{blue}{a_{21}} && \color{blue}{a_{22}} \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} b_{11} && \color{blue}{b_{12}} \\ b_{21} && \color{blue}{b_{22}} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a_{11} · b_{11} + a_{12} · b_{21} && a_{11} · b_{12} + a_{12} · b_{22} \\ a_{21} · b_{11} + a_{22} · b_{21} && \color{blue}{a_{21} · b_{12} + a_{22} · b_{22}} \end{pmatrix}$$

Representación final

$$A · B = \begin{pmatrix} a_{11} · b_{11} + a_{12} · b_{21} && a_{11} · b_{12} + a_{12} · b_{22} \\ a_{21} · b_{11} + a_{22} · b_{21} && a_{21} · b_{12} + a_{22} · b_{22} \end{pmatrix}$$

Determinante

El determinante es el valor escalar único que tiene una matriz determinada que se calcula a partir de los elementos de una matriz cuadrada ($a \times a$). Se representa de dos maneras posibles: $|A|$ o $det(A)$.

Cálculo del determinante

1x1

El determinante de una matriz 1x1 es el mismo número.

$A = (a_{11}) \rightarrow |A| = a_{11}$

2x2

Para el determinante de una matriz 2x2, multiplicamos en cruz la diagonal principal y le restamos el resultado de multiplicar en cruz la diagonal secundaria:

Para la diagonal principal:

$$A = \begin{pmatrix} \color{blue}{a_{11}} && a_{12} \\ a_{21} && \color{blue}{a_{22}} \end{pmatrix} \\ |A| = a_{11} · a_{22} - ...$$

Para la diagonal secundaria:

$$A = \begin{pmatrix} a_{11} && \color{blue}{a_{12}} \\ \color{blue}{a_{21}} && a_{22} \end{pmatrix} \\ |A| = ... - a_{12} · a_{21}$$

Por tanto, el módulo de la matriz A de dimensiones 2x2 es:

$$|A| = a_{11} · a_{22} - a_{12} · a_{21}$$

3x3

$$A = \begin{pmatrix} \color{blue}{a_{11}} && a_{12} && a_{13} \\ a_{21} && \color{blue}{a_{22}} && a_{23} \\ a_{31} && a_{32} && \color{blue}{a_{33}} \end{pmatrix}$$ $$|A| = a_{11} · a_{22} · a_{33} + ...$$

Para continuar y calcular el determinante correctamente, podemos usar un truco que consiste en duplicar las dos primeras filas de la matriz abajo de la última. De la siguiente manera:

$$\begin{matrix} a_{11} && a_{12} && a_{13} \\ \color{blue}{a_{21}} && a_{22} && a_{23} \\ a_{31} && \color{blue}{a_{32}} && a_{33} \\ a_{11} && a_{12} && \color{blue}{a_{13}} \\ a_{21} && a_{22} && a_{23} \end{matrix} \\$$ $$|A| = a_{11} · a_{22} · a_{33} + a_{21} · a_{32} · a_{13} + ...$$ $$\begin{matrix} a_{11} && a_{12} && a_{13} \\ a_{21} && a_{22} && a_{23} \\ \color{blue}{a_{31}} && a_{32} && a_{33} \\ a_{11} && \color{blue}{a_{12}} && a_{13} \\ a_{21} && a_{22} && \color{blue}{a_{23}} \end{matrix} \\$$ $$|A| = a_{11} · a_{22} · a_{33} + a_{21} · a_{32} · a_{13} + a_{31} · a_{12} · a_{23} - ...$$

Ahora que hemos multiplicado y sumado todas las líneas verticales de izquierda a derecha, tenemos que restarle a estas el producto de todas las líneas de derecha a izquierda.

$$\begin{matrix} a_{11} && a_{12} && \color{red}{a_{13}} \\ a_{21} && \color{red}{a_{22}} && a_{23} \\ \color{red}{a_{31}} && a_{32} && a_{33} \\ a_{11} && a_{12} && a_{13} \\ a_{21} && a_{22} && a_{23} \end{matrix}$$ $$|A| = a_{11} · a_{22} · a_{33} + a_{21} · a_{32} · a_{13} + a_{31} · a_{12} · a_{23} - a_{13} · a_{22} · a_{31} \\$$ $$\begin{matrix} a_{11} && a_{12} && a_{13} \\ a_{21} && a_{22} && \color{red}{a_{23}} \\ a_{31} && \color{red}{a_{32}} && a_{33} \\ \color{red}{a_{11}} && a_{12} && a_{13} \\ a_{21} && a_{22} && a_{23} \end{matrix}$$ $$|A| = a_{11} · a_{22} · a_{33} + a_{21} · a_{32} · a_{13} + a_{31} · a_{12} · a_{23} - a_{13} · a_{22} · a_{31} - \\ a_{23} · a_{32} · a_{11}$$ $$\begin{matrix} a_{11} && a_{12} && a_{13} \\ a_{21} && a_{22} && a_{23} \\ a_{31} && a_{32} && \color{red}{a_{33}} \\ a_{11} && \color{red}{a_{12}} && a_{13} \\ \color{red}{a_{21}} && a_{22} && a_{23} \end{matrix}$$

Representación final

$$|A| = a_{11} · a_{22} · a_{33} + a_{21} · a_{32} · a_{13} + a_{31} · a_{12} · a_{23} - a_{13} · a_{22} · a_{31} - \\ a_{23} · a_{32} · a_{11} - a_{33} · a_{12} · a_{}$$

Rango de una matriz mediante Gauss.

El rango de una matriz es la cantidad de filas linearmente independientes. En el caso de resolverla con Gauss, linearmente independiente significa filas no nulas una vez reducida la ecuación.