Matrices

Representación de un sistema de ecuaciones como matriz.

$$\begin{cases} x+2y = 3 \\ 3x+4y = 8 \end{cases} \rightarrow \left[ \begin{array}{cc|c} 1 & 2 & 3 \\ 3 & 4 & 8 \end{array} \right]$$

Las matrices se representan en filas y columnas. Las dimensiones son $filas \times columnas$.

$$A = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \\ \end{pmatrix}$$

EJEMPLO NUMÉRICO

El siguiente ejemplo muestra una matriz con 2 filas y 2 columnas, por tanto se trata de una matriz con dimensiones 2x2.

$$A = \begin{pmatrix} 6 & 7 \\ 3 & 3 \\ \end{pmatrix}$$

Suma de matrices

Para sumar matrices ambas deben tener las mismas dimensiones: una matriz 3x2 solo se puede sumar con otra 3x2.

$$A + B = \begin{pmatrix} a_{11} + b_{11} & a_{12} + b_{12} \\ a_{21} + b_{21} & a_{22} + b_{22} \\ a_{31} + b_{31} & a_{32} + b_{32} \end{pmatrix}$$ $$A + B = \begin{pmatrix} 10 & 14 \\ 10 & 10 \\ 9 & 9 \end{pmatrix}$$

Producto de una matriz con un escalar

El producto de una matriz A por un escalar k, es el resultado de multiplicar cada fila y columna por este número escalar.

$$A · k = \begin{pmatrix} a_{11} · k & a_{12} · k \\ a_{21} · k & a_{22} · k \end{pmatrix}$$

EJEMPLO NUMÉRICO

$$A = \begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 4 & 4 \end{pmatrix} \ \ k = 5 \\$$ $$A · 5 = \begin{pmatrix} 10 & 15 \\ 20 & 20 \end{pmatrix}$$

Producto de una matriz con otra matriz

Para hacer el producto de dos matrices estas deben cumplir la siguiente condición en sus dimensiones: la matriz A debe tener las dimensiones $a \times n$ (ej: 2x3) y la matriz B debe tener las dimensiones $n \times b$ (ej. 3x2).

Es decir, no es posible calcular el producto entre una matriz C con dimensiones 3x4 y otra D con dimensiones 5x6.

Cálculo del producto con matrices 2x2

$$A = \begin{pmatrix} a_{11} && a_{12} \\ a_{21} && a_{22} \end{pmatrix} \ B = \begin{pmatrix} b_{11} && b_{12} \\ b_{21} && b_{22} \end{pmatrix}$$

Paso 1

$$\begin{pmatrix} \color{blue}{a_{11}} && \color{blue}{a_{12}} \\ a_{21} && a_{22} \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} \color{blue}{b_{11}} && b_{12} \\ \color{blue}{b_{21}} && b_{22} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \color{blue}{a_{11} · b_{11} + a_{12} · b_{21}} && ... \\ ... && ... \end{pmatrix}$$

Paso 2

$$\begin{pmatrix} \color{blue}{a_{11}} && \color{blue}{a_{12}} \\ a_{21} && a_{22} \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} b_{11} && \color{blue}{b_{12}} \\ b_{21} && \color{blue}{b_{22}} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a_{11} · b_{11} + a_{12} · b_{21} && \textcolor{blue}{a_{11} · b_{12} + a_{12} · b_{22}} \\ ... && ... \end{pmatrix}$$

Paso 3

$$\begin{pmatrix} a_{11} && a_{12} \\ \color{blue}{a_{21}} && \color{blue}{a_{22}} \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} \color{blue}{b_{11}} && b_{12} \\ \color{blue}{b_{21}} && b_{22} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a_{11} · b_{11} + a_{12} · b_{21} && a_{11} · b_{12} + a_{12} · b_{22} \\ \color{blue}{a_{21} · b_{11} + a_{22} · b_{21}} && ... \end{pmatrix}$$

Paso 4

$$\begin{pmatrix} a_{11} && a_{12} \\ \color{blue}{a_{21}} && \color{blue}{a_{22}} \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} b_{11} && \color{blue}{b_{12}} \\ b_{21} && \color{blue}{b_{22}} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a_{11} · b_{11} + a_{12} · b_{21} && a_{11} · b_{12} + a_{12} · b_{22} \\ a_{21} · b_{11} + a_{22} · b_{21} && \color{blue}{a_{21} · b_{12} + a_{22} · b_{22}} \end{pmatrix}$$

Representación final

$$A · B = \begin{pmatrix} a_{11} · b_{11} + a_{12} · b_{21} && a_{11} · b_{12} + a_{12} · b_{22} \\ a_{21} · b_{11} + a_{22} · b_{21} && a_{21} · b_{12} + a_{22} · b_{22} \end{pmatrix}$$

Determinante

El determinante es el valor escalar único que tiene una matriz determinada que se calcula a partir de los elementos de una matriz cuadrada ($a \times a$). Se representa de dos maneras posibles: $|A|$ o $det(A)$.

Cálculo del determinante

1x1

El determinante de una matriz 1x1 es el mismo número.

$A = (a_{11}) \rightarrow |A| = a_{11}$

2x2

Para el determinante de una matriz 2x2, multiplicamos en cruz la diagonal principal y le restamos el resultado de multiplicar en cruz la diagonal secundaria:

Para la diagonal principal:

$$A = \begin{pmatrix} \color{blue}{a_{11}} && a_{12} \\ a_{21} && \color{blue}{a_{22}} \end{pmatrix} \\ |A| = a_{11} · a_{22} - ...$$

Para la diagonal secundaria:

$$A = \begin{pmatrix} a_{11} && \color{blue}{a_{12}} \\ \color{blue}{a_{21}} && a_{22} \end{pmatrix} \\ |A| = ... - a_{12} · a_{21}$$

Por tanto, el módulo de la matriz A de dimensiones 2x2 es:

$$|A| = a_{11} · a_{22} - a_{12} · a_{21}$$