Método de Gauss

El objetivo del método de Gauss es transformar la matriz de un sistema de ecuaciones en una matriz escalonada mediante operaciones elementales entre filas. Esto permite simplificar el sistema y determinar fácilmente su rango y sus soluciones.

Las operaciones permitidas son:

1. Intercambiar dos filas.
2. Multiplicar una fila por un número distinto de cero.
3. Sumar a una fila otra fila multiplicada por un número.

Teorema de Rouché-Frobenius

El Teorema de Rouché-Frobenius permite conocer la naturaleza de las soluciones de un sistema de ecuaciones lineales comparando el rango de la matriz de coeficientes ($A$) y el rango de la matriz ampliada ($A^*$).

Definiciones clave

• Matriz de coeficientes ($A$): Contiene solo los coeficientes de las incógnitas.
• Matriz ampliada ($A^*$): Contiene los coeficientes y la columna de los términos independientes.
• Rango ($\text{rg}$): Número de filas linealmente independientes (filas no nulas tras aplicar Gauss).

Casos de compatibilidad

Comparando el rango de $A$, el de $A^*$ y el número de incógnitas ($n$):

1. Sistema Compatible Determinado (SCD): $\text{rg}(A) = \text{rg}(A^*) = n$ El sistema tiene una solución única.

2. Sistema Compatible Indeterminado (SCI): $\text{rg}(A) = \text{rg}(A^*) < n$ El sistema tiene infinitas soluciones.

3. Sistema Incompatible (SI): $\text{rg}(A) \neq \text{rg}(A^*)$ El sistema no tiene solución.

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Guía paso a paso para resolver el sistema

1. Representación matricial Escribimos el sistema en forma de matriz ampliada $A^*$. $\begin{cases} a_{11}x + a_{12}y = b_1 \\ a_{21}x + a_{22}y = b_2 \end{cases} \rightarrow A^* = \left[ \begin{array}{cc|c} a_{11} & a_{12} & b_1 \\ a_{21} & a_{22} & b_2 \end{array} \right]$

2. Reducción por Gauss Aplicamos el método de Gauss para llevar la matriz $A^*$ a su forma escalonada.

3. Cálculo de rangos Contamos el número de filas no nulas en la matriz de coeficientes ($A$) y en la matriz ampliada ($A^*$).

4. Análisis según el teorema Comparamos los rangos obtenidos con el número de incógnitas para clasificar el sistema.

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Resolución con parámetros (incógnitas como “m”)

Cuando el sistema contiene un parámetro (una letra como $m$ en lugar de un número), el rango de la matriz dependerá del valor de dicho parámetro. Para resolverlo:

1. Realizamos la reducción de Gauss manteniendo la letra $m$ en los cálculos.
2. Identificamos los valores de $m$ que hacen que una fila se anule (se vuelva cero).
3. Analizamos cada caso por separado:
   • Caso 1: Cuando $m = \text{valor crítico} \rightarrow$ Calculamos rangos y determinamos el tipo de sistema.
   • Caso 2: Cuando $m \neq \text{valor crítico} \rightarrow$ Calculamos rangos y determinamos el tipo de sistema.

Regla de Cramer

La Regla de Cramer es un método basado en el uso de determinantes para resolver sistemas de ecuaciones lineales. A diferencia del método de Gauss, que sirve para cualquier sistema, Cramer es aplicable únicamente a sistemas cuadrados (mismo número de ecuaciones que de incógnitas) que sean Compatibles Determinados (SCD), es decir, cuyo determinante principal sea distinto de cero.

Fundamento del método

Para un sistema de $n$ ecuaciones con $n$ incógnitas, definimos:

1. Determinante del sistema ($\Delta$ o $|A|$): Es el determinante de la matriz de coeficientes.
2. Determinantes de las incógnitas ($\Delta_x, \Delta_y, \dots$): Se obtienen sustituyendo la columna de la incógnita que queremos calcular por la columna de los términos independientes.

La solución se halla mediante los cocientes: $x = \frac{\Delta_x}{\Delta}, \quad y = \frac{\Delta_y}{\Delta}, \quad z = \frac{\Delta_z}{\Delta}$

Análisis con parámetros (incógnitas como “m”)

Cuando el sistema contiene un parámetro $m$, el determinante $\Delta$ será una expresión algebraica en función de $m$.

• Si $\Delta(m) \neq 0$: El sistema es SCD y tiene solución única mediante Cramer.
• Si $\Delta(m) = 0$: El método de Cramer no se puede aplicar. En este caso, debemos recurrir al método de Gauss y al Teorema de Rouché-Frobenius para saber si el sistema es SCI o SI.

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Ejercicios explicados con Cramer